A equação de Dirac

A equação de Dirac deduzida para ser uma ponte entre a Relatividade Restrita  e a Mecânica Quântica 

Por Argos Arruda Pinto.

Obs.: Este texto, por se referir a uma equação de grande complexidade na Física, possui mais a intenção de descrevê-la e mostrar a sua importância, tanto na Mecânica Quântica quanto na Física de Partículas, e na relação entre a Teoria da  Relatividade e a Física Quântica. Por isso o divido em duas partes.

Parte I - O contexto

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) ou simplesmente Paul Dirac, foi um físico teórico e matemático inglês, considerado um dos fundadores da Mecânica Quântica e da Eletrodinâmica Quântica. Sua contribuição inclui a famosa equação de Dirac, uma formulação matemática fundamental na Física Quântica e na Teoria da Relatividade, sendo desenvolvida em 1928.

Naquela época já existia, evidentemente, a Mecânica Quântica para movimentos de partículas não relativísticas, descritas pela equação de Schrödinger,  mas ela não está de acordo com a relatividade especial. Dizemos que ela não é covariante sob as transformações de Lorentz.

Dirac queria obter uma relação entre o movimento de elétrons em velocidades próximas à da luz, ou seja, a relação entre  a  Teoria da Relatividade de Einstein com a Mecânica Quântica para este problema, e, então,  teria que ajustar a equação de Schrödinger, introduzindo um  operador de nome  hamiltoniano e assim chegar na sua própria equação. Evidente haver mais detalhes da Matemática na busca dessa equação, mas um primeiro e fundamental passo seria o operador hamiltoniano. 

Ele é um conceito da Mecânica Quântica que representa a energia total de um sistema. É usado para descrever como o estado de um sistema quântico muda com o tempo. Em termos simples, você pode pensar nele como uma regra que diz como as coisas se movem e interagem em um nível quântico. 

Havia também  naquela época, em termos relativísticos, a equação de Klein-Gordon de 1927 que explicava apenas as partículas de spin 0 e a equação de Proca descrevendo as partículas de spin 1, estranhamente sem data de publicação. 

Dirac acabou por explicar as partículas de spin ½ como os elétrons e os quarks.

Ele acabou até por provar teoricamente a existência do pósitron, a antipartícula do elétron, a antimatéria do elétron. 

Em 1933, Paul Dirac foi laureado pelo Nobel de Física devido à descoberta do pósitron pelo físico estadunidense Carl A. Anderson (1904-1991) em 1932. Anderson também levou o Nobel de Física quatro anos depois, em 1936.

A importância dessa formulação não parou por aí.

Outras contribuições incluem:

1. A Eletrodinâmica Quântica (QED)

A QED é uma teoria que descreve a interação entre partículas carregadas e o campo eletromagnético.

A equação de Dirac é usada para formular a QED, permitindo cálculos precisos de propriedades do elétron.

2. A Cromodinâmica Quântica (QCD)

É uma teoria fundamental na física teórica que descreve as interações fortes. Essa força atua entre quarks,  partículas elementares que compõem prótons, nêutrons, píons, e glúons.

Os glúons são as partículas mediadoras da força nuclear   forte entre quarks e os píons são os mésons leves denominados π0, π+ e π-, responsáveis pela chamada força residual forte.  O píon é a abreviação de méson π, partícula descoberta pelo físico brasileiro César Lattes (1924-2005) e equipe, em 1947.

Aqui estão algumas características importantes da QCD:

2a. Confinamento: A força entre quarks não diminui à medida que eles se afastam. Isso significa que quarks nunca são encontrados isoladamente; eles estão sempre confinados dentro de partículas compostas chamadas hádrons, que são os bárions e mésons.

Os bárions são as partículas constituídas de três quarks, como os prótons e os nêutrons.

2b. Liberdade assintótica: Em altas energias, quarks e glúons interagem fracamente, criando um plasma de quarks e glúons. Essa previsão da QCD foi reconhecida com o Prêmio Nobel de Física em 2004.

Em resumo, a QCD é essencial para entender a estrutura da matéria e é uma parte importante do modelo padrão da física de partículas.

Cientistas se inspiram em trabalhos de outros cientistas, obtém novas ideias, modificam partes de um trabalho, ou seja, como em todas as atividades humanas, uma pode ser refutada, estendida, alterada  ou servir de caminho a novas realizações. 

Dirac mostrou ao mundo na década de 20 que a equação de Schrödinger, além da adaptação à Relatividade Restrita, realizaria descobertas importantes para a Mecânica Quântica com partículas de altas energias. 

Talvez esse fato, e aqui abro uma conjectura, inspirou outros grandes físicos a trilharem novas rotas investigativas ou realizarem trabalhos em termos de ideias já concebidas naqueles anos.

Então eu tomo a liberdade aqui de mudar um pouco o assunto, mas ficar nas partículas de altas velocidades, energias, estados correlacionados, etc., e, o próprio Paul Dirac pode ter influenciado muitos cientistas a procurar outras relações entre as diversas áreas da Física.

Einstein, por exemplo,  dedicou grande parte da sua vida de pesquisador, após a Relatividade Geral, ao procurar uma teoria denominada Teoria do Campo Unificado.

Seria uma teoria que unificaria todas as forças fundamentais  das  partículas  elementares do universo,  através de apenas um campo. Não conseguiu e este problema continua em aberto.

Não sabemos se foi devido ao Dirac, mas, aquela época era propícia para tanto como eu já disse.

Após Einstein, físicos tentaram unificar todos os fenômenos físicos, inclusive unir  a Teoria da Relatividade Geral com a Mecânica Quântica, algo bem difícil, na chamada Teoria de Tudo. Reuniriam todas as energias, forças, partículas, etc. Também não conseguiram.

Veio então a Teoria-M, tentando unificar a Teoria das Cordas, a Supergravidade e a Supersimetria. 

Ela é considerada uma teoria ainda em desenvolvimento e muitos aspectos dela são pouco compreendidos e explorados. A Teoria-M é complexa e requer mais evidências experimentais para ser validada ou refutada.

Existe até um receio dos físicos em se tentar uma teoria única englobando toda a Física em um conjunto de equações relacionadas entre si.

Não conseguir um feito desses representa um fracasso na carreira deles, deixando-os no quase esquecimento. A exceção foi Einstein devido à sua enorme contribuição para a Física em seus trabalhos.

De qualquer maneira, se toda a energia do universo estava concentrada em algo naqueles primeiros instantes iniciais de 0 s a 10^(-43) s, existe, creio eu, uma relação entre as quatro formas de energia entre si. Todas, e todas as suas consequências, forças, campos, etc., vieram do mesmo “algo”, e, tenho certeza, sempre haverá um físico, pelo menos, na jornada de descobrir uma relação entre tudo.

Parte II - A equação de Dirac em seus  termos constituintes

Na imagem abaixo temos a equação de Dirac e perceba a matemática de alto nível nela presente, os seus termos, e conforme a descrição que farei para apenas um primeiro contato seu. E também não posso nesta breve descrição colocar uma frase ou uma palavra chave a mais, pois eu teria que adicionar mais e mais explicações, tornando este texto inviável em tamanho.

1. O termo entre parênteses incluí 4 outros:

1a. A constante de Planck reduzida ou o “h cortado”, igual a h/2π, ou seja, a constante de Plank dividida por 2π, muito usada na Mecânica Quântica;

1b. A letra grega γ (gama) elevada a outra letra grega μ (mu), representa as matrizes de Dirac, objetos ou construções matemáticas facilitando a compreensão da relatividade especial com o spin dos elétrons;

1c. Agora, a letra ∂ (Del) com índice μ (mu) é um operador de derivadas parciais. Já citei neste grupo as derivadas de apenas uma variável. As derivadas parciais possuem diversas variáveis e se mantém algumas fixas para derivar aquela que você precisa;

1d. E o termo mc é a massa da partícula multiplicada pela velocidade da luz.     

1e. Então termina-se o parênteses, seguido pela letra grega ψ (psi), que é a função de onda de Schrödinger para o elétron, neste caso. Ela   contém todas as informações sobre o estado de uma partícula e é usada para calcular probabilidades de encontrar a partícula em diferentes posições ou estados.