Gravitação

x

Borges e Nicolau

Johannes Kepler

Johannes Kepler (1571-1630), notável astrônomo e matemático alemão, estabeleceu a forma como os planetas se movem em torno do Sol. Oito são os planetas de nosso sistema solar, na seguinte ordem de distância ao Sol: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.

Kepler foi discípulo do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546–1601), tendo herdado precisas observações de seu mestre. Depois de muito estudo enunciou as três leis do movimento planetário, conhecidas hoje como Leis de Kepler.

Leis de Kepler

Primeira lei de Kepler ou lei das órbitas

As órbitas descritas pelos planetas são elipses, com o Sol ocupando um dos focos.

As órbitas descritas pelos planetas são elipses
 

Segunda lei de Kepler ou lei das áreas

O segmento que une o centro do Sol ao centro do planeta descreve áreas proporcionais aos intervalos de tempo de percurso.

Assim, seja A a área varrida por um planeta num intervalo de tempo Δt.

Podemos escrever, de acordo com a segunda lei de Kepler:

A = K.Δt

K é uma constante de proporcionalidade que depende do planeta.

Observações:

• A relação A/Δt = K recebe o nome de velocidade areolar, sendo uma constante para cada planeta do sistema solar.
• A velocidade de translação de um planeta ao redor do Sol não é constante, sendo máxima quando o planeta está mais próximo do Sol (periélio) e mínima, quando mais distante (afélio).

As áreas varridas são proporcionais aos intervalos de tempo de percurso

Terceira lei de Kepler ou lei dos períodos

O quadrado do período de revolução, de cada planeta ao redor do Sol, é diretamente proporcional ao cubo do semi eixo  maior da correspondente trajetória.

Assim, seja T o período de revolução e R o semi eixo maior da elipse.

Podemos escrever, de acordo com a terceira lei de Kepler:

T²/R³ = constante

Esta constante depende da massa do Sol e da massa do planeta. Como a massa do planeta é muito menor do que a massa do Sol, considera-se que a constante depende somente da massa do Sol, sendo, portanto, a mesma para todos os planetas.


Deste modo, para a Terra e Marte, por exemplo, podemos escrever:

T²_Terra/R³_Terra = T²_Marte/R³_Marte

Observações:

• Se a órbita de um planeta for considerada circular, o semi eixo maior é o próprio raio da circunferência que constitui a órbita.
• As leis de Kepler são válidas de um modo geral para quaisquer corpos que gravitem em torno de um outro de massa muito maior.

Quanto maior o semi eixo maior da trajetória, maior é o período do planeta, isto é, maior é o seu ano. O período de Marte é de aproximadamente 1,881 ano terrestre. Já o período de Netuno é de 165,951 anos terrestres.

(Imagens: painéis do Museu Aeroespacial de Washington-DC fotografados por Nicolau Gilberto Ferraro.)

Veja a Leis de Kepler em animações:

Primeira lei de Kepler 
Segunda lei de Kepler 
Terceira lei de Kepler

Exercícios básicos

Exercício 1:
Um planeta descreve em torno do Sol a trajetória indicada na figura:

a) Em qual dos pontos indicados a velocidade de translação do planeta é máxima? Qual é o nome dado a este ponto?
b) Em qual dos pontos indicados a velocidade de translação do planeta é mínima? Qual é o nome dado a este ponto?
c) O movimento do planeta de A para B é acelerado ou retardado? 


Exercício 2:
A figura representa a órbita da Terra em torno do Sol. A área A₁ é varrida em 2 meses e a área A₂ em 5 meses. Qual é a relação entre as áreas A₁/A₂? 

Exercício 3:

Um planeta descreve uma órbita circular de raio R. O período de translação do planeta é T. Calcule em função de R e T a velocidade areolar do planeta.

Exercício 4:
O raio da órbita de Júpiter em torno do Sol é 5,2 vezes o raio da Terra. Determine o ano de Júpiter, isto é, o período da translação de Júpiter em torno do Sol, expresso em anos terrestres. 


Exercício 5:
Dois satélites da Terra descrevem órbitas circulares de raios R₁ e R₂ e de períodos
T₁ e T₂. Sendo R₁/R₂ = 4, qual é a relação T₁/T₂? 

Exercício 1: resolução

a) A velocidade de translação do planeta é máxima no ponto A que é o ponto da trajetória mais próxima do Sol. Este ponto é chamado periélio.

b) A velocidade de translação do planeta é mínima no ponto B que é o ponto da trajetória mais afastada do Sol. Este ponto é chamado afélio.

c) De a para B a velocidade de translação diminui. O movimento é retardado.

Respostas:
a) A, periélio;
b) B, afélio;
c) retardado.

Exercício 2: resolução

Pela segunda lei de Kepler, temos:

A₁/Δt₁ = A₂/Δt₂  =>  A₁/2 =  A₂/5  =>  A₁/A₂ = 0,4

Resposta: 0,4

Exercício 3: resolução

No intervalo de tempo Δt = T a área varrida pelo planeta é a área de um círculo:

A = π.R².

Assim, temos:

V_areolar = A/Δt  =>  V_areolar = π.R²/T

Resposta: π.R²/T

Exercício 4: resolução

T²_Terra/R³_Terra = T²_Júpiter/R³_Júpiter  =>  (1,0)²/R³_Terra = T²_Júpiter/(5,2.R_Terra)³

T²_Júpiter ≅ 140,6  => T_Júpiter ≅ 11,9 anos terrestres

Resposta: ≅ 11,9

Exercício 5: resolução

(T₁)²/(R₁)³ = (T₂)²/(R₂)³  =>  (T₁/T₂)² = (R₁/R₂)³  =>  (T₁/T₂)² = (4)³  =>
T₁/T₂ = 8

Resposta: 8   

 

Energia cinética

Borges e Nicolau

A energia que um corpo possui e que está associada a seu estado de movimento, chama-se energia cinética.
Um corpo de massa m apresenta, em dado instante, uma velocidade v. Sua energia cinética E_c é dada por:

E_c = m.v²/2

Teorema da energia cinética (TEC)

xxxxxxA variação da energia cinética de um corpo entre dois instantes xxxxxxquaisquer é dada pelo trabalho da resultante das forças que xxxxxxatuam sobre esse corpo, neste intervalo de tempo.

Este teorema tem validade geral. Entretanto, vamos fazer a demonstração na situação particular, representada na figura: num dado instante, um corpo de massa m ocupa a posição A, apresentando uma velocidade v_A. Sob a ação de uma força resultante F_R, suposta constante, esse corpo é acelerado de modo a apresentar na posição B, ao final de certo intervalo de tempo Δt, a velocidade v_B.

A energia cinética do corpo variou de um valor inicial E_cA para um valor final E_cB. A variação de energia cinética ocorrida no intervalo de tempo considerado será dada por:

ΔE_c = E_cB – E_cA  =>  ΔE_c = m.(v_B)²/2 - m.(v_A)²/2  =>    
ΔE_c = m/2.[(v_B)² – (v_A)²]
Da equação de Torricelli (v_B)² = (v_A)² + 2.a.Δs, vem: (v_B)² - (v_A)² = 2.a.Δs. Portanto:
ΔE_c = m/2.(2.a.Δs)  =>  ΔE_c = m.a.Δs  =>  ΔE_c = F_R.Δs
Sendo F_R.Δs = τ_R o trabalho realizado pela força resultante F_R que atua sobre o corpo, obtemos:

ΔE_c = τ_R

Exercícios básicos

Exercício 1:
Qual é a energia cinética de um carro de massa 800 kg e que se desloca com velocidade constante de 72 km/h?


Exercício 2:
Um corpo possui, num certo instante t₁, velocidade v e energia cinética igual a 20 J. Num instante posterior t₂ sua velocidade passa a ser 2v. Determine:
a) a energia cinética do corpo no instante t₂;
b) o trabalho da força resultante que age no corpo entre os instantes t₁ e t₂.


Exercício 3:
Uma partícula, de massa m = 200 g, é lançada obliquamente do solo com velocidade de intensidade v₀ = 20 m/s, formando com a horizontal um ângulo θ = 60º. Determine a energia cinética da partícula no instante em que atinge a altura máxima.
 

Exercício 4:
Sob ação de uma força vertical de intensidade F = 15 N, um bloco de peso P = 10 N é levado, a partir do repouso, do solo até uma posição de altura h = 1,6 m, onde chega com velocidade v. Determine v.
É dado g = 10 m/s².
 

Exercício 5:
O plano inclinado da figura possui 30 m de comprimento e 2,0 m de altura. Um pequeno bloco de massa m = 1,0 kg parte do repouso do ponto A e atinge o ponto B com velocidade v = 4,0 m/s.
Sendo g = 10 m/s², determine:
a) o trabalho da força de atrito entre o corpo e o plano;
b) a intensidade da força de atrito. 

Exercício 1: resolução

E_c = m.v²/2 => E_c = 800.(20)²/2 => E_c = 1,6.10⁵ J 

Resposta: 1,6.10⁵ J 

Exercício 2: resolução

a) E_c1 = m.v²/2 = 20 J; E_c2 = m.(2v)²/2 => E_c2 = 4.m.v²/2 =>
E_c2 = 4.E_c1 = 80 J
 
b) τ_R = E_c2 - E_c1 => τ_R = 60 J

Respostas: a) 80 J; b) 60 J

Exercício 3: resolução

No ponto de altura máxima a velocidade da partícula é:v_x
v = v_x = v₀.cos 60° => v = 20.0,5 => v = 10 m/s 
E_c = m.v²/2 => E_c = 0,2.(10)²/2 => E_c = 10 J

Resposta: 10 J

Exercício 4: resolução

Teorema da energia cinética 
τ_R = ΔE_c => τ_F + τ_P = m.v²/2 – 0 => F.h – P.h = m.v²/2 =>
15.1,6 – 10.1,6 = 1,0.v²/2 => v = 4,0 m/s

Resposta: 4,0 m/s

Exercício 5: resolução

a) Teorema da energia cinética 
τ_R = ΔE_c => τ_Fat + τ_P + τ_FN = m.v²/2 – 0 =>
τ_Fat +m.g.h + 0 = m.v²/2 => 
τ_Fat +1,0.10.2,0 + 0 = 1,0.(4,0)²/2 => τ_Fat = -12 J

b) τ_Fat = -F_at.d => -12 = -F_at.30 => F_at = 0,4 N

Respostas: a) -12 J; b) 0,4 N    

Energia potencial Gravitacional e Elástica. Energia Mecânica

Borges e Nicolau

A energia potencial é a energia que um corpo possui devido à posição que ele ocupa em relação a um dado nível de referência. Vamos considerar aqui dois tipos de energia potencial: a energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica.

Energia potencial gravitacional

Considere um  corpo de massa m situado a uma altura h, em  relação ao solo, num local em que a aceleração da gravidade é g.

 
Adotando-se, por exemplo, o solo como nível de referência (energia potencial nula), o trabalho do peso no deslocamento do corpo dessa posição até o solo, mede a energia potencial gravitacional do corpo:

E_P = m.g.h

Energia potencial elástica

Consideremos um corpo preso a uma mola não deformada, de constante elástica k. Deslocando-se o corpo de sua posição de equilíbrio, distendendo ou comprimindo a mola, produzindo uma deformação x, o sistema corpo-mola armazena energia potencial elástica, dada pelo trabalho da força elástica no deslocamento x (da posição deformada para a posição não deformada, que é o nível de referência):

E_P = k.x²/2

Energia Mecânica

A soma da energia cinética E_C de um corpo com sua energia potencial E_P , recebe o nome de Energia mecânica E_mec:

E_mec =  E_C  +  E_P

Conservação da energia mecânica

Vamos considerar que os trabalhos realizados pelas forças que atuam num corpo ou num sistema de corpos transformem exclusivamente energia potencial em cinética ou vice-versa. Nestas condições, as forças do sistema são chamadas forças conservativas. É o caso do peso, da força elástica, da força eletrostática.
Sob ação de um sistema de forças conservativas ou de forças que realizam trabalho nulo, pode haver conversão entre as energias cinética e potencial, mas a energia mecânica permanece constante. É o princípio da Conservação da Energia Mecânica:

Sistema conservativo: E_mec =  E_C  +  E_P = constante

Animações para recordar o conteúdo sobre energia.

Clique aqui, aqui, aqui, e aqui

Exercícios básicos
 
Exercício 1:
Uma bolinha de massa 0,2 kg encontra-se no interior de um apartamento sobre uma mesa de 0,8 m de altura. O piso do apartamento encontra-se a 10 m do nível da rua. Considere g = 10 m/s².

Calcule a energia potencial gravitacional da bolinha:

a) em relação ao piso do apartamento;
b) em relação ao nível da rua.

Exercício 2:
Um bloco está preso a uma mola não deformada. Sob ação de uma força de intensidade F = 30 N a mola sofre uma compressão x = 0,1 m. Calcule:
a) a constante elástica da mola;
b) a energia potencial elástica armazenada pelo sistema.


Exercício 3:
Uma esfera de massa m = 0,3 kg é lançada obliquamente do solo com velocidade v₀ = 20 m/s, com ângulo de tiro θ = 60º. A altura máxima que a esfera atinge, em relação ao solo, é de 15 m. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s². 

Calcule para o ponto de altura máxima:

a) a energia cinética;
b) a energia potencial gravitacional, em relação ao solo;
c) a energia mecânica, em relação ao solo.

Exercício 4:
Uma pequena esfera é lançada horizontalmente com velocidade v₀ = 10 m/s de um local situado a 15 m do solo, suposto horizontal. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s². Calcule a velocidade com que a esfera atinge o solo.

Exercício 5:
Um bloco de massa m = 0,5 kg atinge uma mola com velocidade v = 4 m/s. Determine a deformação sofrida pela mola até o corpo parar. Despreze os atritos e considera a constante elástica da mola igual a 800 N/m.

Exercício 1: resolução

a) E_P = m.g.h => E_P = 0,2.10.0,8 => E_P = 1,6 J

b) E_P = m.g.H => E_P = 0,2.10.10,8 => E_P = 21,6 J

Respostas: 1,6 J; 21,6 J

Exercício 2: resolução

a) F = k.x => 30 = k.0,1 => k = 300 N/m
 
b) E_P = k.x²/2 => E_P = 300.(0,1)²/2 => E_P = 1,5 J

Respostas: a) 300 N/m; b) 1,5 J

Exercício 3: resolução
 
a) v = v₀.cos 60º => v = 20.0,5 => v = 10 m/s 
E_C = m.v²/2 => E_C = 0,3.(10)²/2 => E_C = 15 J
 
b) E_P = m.g.h => E_P = 0,3.10.15 => E_P = 45 J
 
c) E_mec = E_P + E_C = 45 J + 15 J => E_mec = 60 J

Respostas: a) 15 J; b) 45 J; c) 60 J

Exercício 4: resolução

Conservação da energia mecânica 

E_CA + E_PA = E_CB + E_PB  => m.(v₀)²/2 + m.g.h = m.(v)²/2 + 0 =>
(v₀)²/2 + g.h = (v)²/2 + 0 => (10)²/2 + 10.15 = (v)²/2 =>
v = 20 m/s

Resposta: 20 m/s

Exercício 5: resolução
Conservação da energia mecânica: 

m.(v₀)²/2 = k.x²/2 => 0,5.(4)²/2 = 800.(x)²/2 => x = 0,10 m = 10 cm

Resposta: 0,10 m = 10 cm