Vi na TV que a bola que será usada na Copa do Mundo de Futebol em 2014, que será realizada aqui no Brasil, já saiu da prancheta e está sendo testada por engenheiros na Alemanha.
Uma bola moderna de futebol é um show de tecnologia. Dentre inúmeras características, ela deve:
- Ser feita de um material que não absorva água pois, em caso de chuva, precisa permanecer com a mesma massa oficial, entre 410 g e 450 g;
- Ter enorme elasticidade e resistir a impactos intensos sem o vício de deformação permanente. A bola sofre deformação no impacto mas restitui a sua forma original;
- Estar como nova ao final da partida, com seus desenhos e a logomarca da Copa intactos, já que vira peça da história do futebol e não pode ficar desgastada e feia;
- ...
Sabemos que em toda colisão é muito provável que haja dissipação de energia mecânica. Com a bola batendo no chão não é diferente. Se há barulho no impacto, parte da energia deixa o sistema na forma de ondas sonoras. Também é comum que um fração da energia mecânica inicial se converta em energia térmica, provocando ligeiro aquecimento na região de colisão (tanto na bola quanto no solo). E, quanto maior é a perda de energia mecânica durante o impacto, menor será o valor da altura atingida pela bola pós colisão, o que chamei de H'.
No estudo das colisões dos corpos definimos o coeficiente de restituição e como sendo:
A expressão acima nos diz que o Coeficiente de Restituição é dado pela razão entre a velocidade relativa de afastamento e a velocidade relativa de aproximação dos corpos na colisão. Neste caso da bola, como o solo está parado, ocorre uma colisão contra um obstáculo fixo. Assim, a velocidade realtiva de afastamento já é V' enquanto que a velocidade relativa de aproximação é o V. Concluímos que:
Os valores esperados de e em qualquer colisão são:
- e = 0: se o corpo "grudar" no obstáculo (V' = 0) e ali permanecer parado. Neste caso, toda a energia mecânica é dissipada na colisão.
- e = 1: se o corpo se separar do obstáculo (|V'| > 0) e não perder energia mecânica. Este é o caso ideal, de perda zero de energia, improvável de ocorrer na prática.
- 0 < e < 1: se o corpo se separar do obstáculo (|V'| > 0) e perder apenas uma fração da sua energia mecânica. Na prática, esta é a situação mais provável de ocorrer.
Classificamos as colisões de acordo com o valor de e em:
No caso da bola de futebol colidindo contra o solo, você acha que a colisão é Elástica, Inelástica ou Parcialmente Elástica? Podemos calcular o valor mínimo de e para responder a esta pergunta. Mas também podemos usar raciocínio lógico, antes das contas. E o bacana da Física é que os cálculos confirmam as ideias e vice-versa. Se isso não acontece, o modelo está furado e precisa ser revisto.
Então primeiro vamos às ideias. Podemos esperar que:
- A colisão da bola com o piso não seja Inelástica porque ela não "gruda" no solo.
- A colisão da bola com o chaõ não seja Perfeitamente Elástica porque, depois de quicar, a bola não atinge a mesma altura inicial.
Vamos aos cálculos...
Quando a bola é solta, da altura H, o sistema acumula uma energia potencial gravitacional Ep = mgH. Quando toca o solo, pouco antes do impacto, a anergia total do sistema é cinética e vale EC = mV²/2.
Considerando o sistema conservativo, ou seja, que não haja perda de energia na descida, toda a energia potencial inicial vai se converter em cinética no final. Isso é equivalente a desprezar os efeitos do ar. Nestas condições teremos:
Durante o impacto, parte da energia se perde e a bola sobe com velocidade V' < V e, portanto, tem energia cinética E'C = mV'²/2. Esta energia cinética vai se converter integralmente em energia potencial gravitacional final E'p = mgH' quando a bola atingir a altura máxima H'.
Mais uma vez desconsiderando os mínimos efeitos do ar, ou seja, assumindo um sistema conservativo, toda a energia cinética E'C = mV'²/2 logo após a colisão vai se converter em energia potencial gravitacional E'p = mgH'. Logo:
Antes de prosseguir, uma observação: tanto na descida quanto na subida da bola consideramos o sistema conservativo, ou seja, dissipação zero de energia mecânica. Na colisão, no entanto, uma fração da energia é dissipada e o sistema, neste pequeno intervalo de duração do choque, não é conservativo.
Vamos adiante... Agora que temos as expressões de V e V' obtidas logo acima, podemos encontrar outra expressão que nos dê o Coeficiente de Restituição e da colisão da bola com o solo. Veja:
E, com os valores H = 2,0 m e H' = 1,5 m, podemos estimar o valor mínimo de e:
Se a bola tiver este valor mínimo de e = 0,866, garantimos que ela quica e na volta atinge 75% da altura inicial.
Conforme havíamos previsto, 0 < e < 1, caracterizando uma colisão Parcialmente Elástica. Mas o valor de e não está muito abaixo de 1,0, o que caracteriza uma bola capaz de quicar bem e atingir boas alturas após o impacto. Os fabricantes da bola devem melhorar o material da mesma para que isso seja possível.
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